Variables Instrumentales (IV)

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.title[
# Variables Instrumentales (IV)
]
.subtitle[
## Pratiques de la Recherche en Économie
]
.author[
### Florentine Oliveira
]
.date[
### 2025-03-11
]

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layout: true

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# Selection on unobservables

Les méthodes d'identification basées sur l'**hypothèse d'indépendance conditionnelle** (CIA, ou **selection sur les observables**) supposent qu'en contrôlant par des variables observables `$W_i$`, l'estimateur OLS donne l'effet causal du traitement `$D$`
  - i.e. on peut contrôler pour toute la sélection dans le traitement (*mauvaise variation*) par des variables **observées** `$W$`

&nbsp;

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# Selection on unobservables

.center[🚨 **Il existe (quasiment) TOUJOURS des variables inobservables qui affectent à la fois le traitement et l'outcome** 🚨]

.center[
 `$\color{#dd0747}{\implies}$` **Biais de sélection (le groupe de traitement et contrôle ne sont pas comparables)**
]

.center[
 `$\color{#dd0747}{\implies} \; D$` **est endogène**
]

.center[
 `$\implies \; \hat{\beta}$` **n'est pas causal**
]

&nbsp;

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# Intuition IV

La méthode des **variables instrumentales**

- sépare `$D$` en une partie exogène (*bonne variation*) et une partie endogène (*mauvaise variation*)
 
--
 
- grâce à une variable que l'on appelle **instrument** `$\color{#dd0747}{Z_i}$` 
 
--

- pour n'utiliser que la partie exogène dans l'estimation de l'effet du traitement
   
--
   
Cela permet de supprimer le biais de sélection en *supprimant la mauvaise variation* de `$D_i$`

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# Estimateur IV

On a le modèle usuel:

`$$Y_i = \alpha + \beta D_i + W_i + \varepsilon_i$$`
&nbsp;

***Rappel***: l'esimateur OLS garantie que l'estimateur de `$\beta$` de l'effet du traitement `$D$` est causal/bien identifié si et seulement si `$Cov(D_i,\varepsilon_i)=0$`, ce qui est une hypothèse très forte.

&nbsp;

La méthode des **variables instrumentales** suppose qu'il existe une variable `$Z_i$`, corrélée avec la variable endogène et qui impacte l'outcome uniquement via son effet sur la variable endogène.

L'**estimateur IV** s'écrit:

`$$\color{#33B8FF}{\hat{\beta}^{IV} = (Z'D)^{-1}(Z'Y)}$$`
où `$Z=(ZW)$` et `$D=(DW)$`, avec `$W$` les variables de contrôle.

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# Hypothèses d'identification

**Relevance:** 
- L'instrument est corrélé à la variable endogène/traitement (cela nous assure qu'on garde bien une partie de la *bonne variation* de `$\color{#9933FF}{D}$` ) 
- Formellement, `$\color{#9933FF}{Cov(D_i, Z_i) \neq 0}$` 
- **Hypothèse testable!**: via la régression de première étape (*first-stage*) en montrant que l'instrument a bien un effet statistiquement significatif sur la variable endogène/instrument + F-stat > 10

&nbsp;

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# Hypothèses d'identification

**Exclusivité** 
- L'instrument affecte `$\color{#9933FF}{Y}$` **uniquement via** `$\color{#9933FF}{D}$`. Dit autrement, l'instrument n'impacte pas directement `$\color{#9933FF}{Y}$` 
- Hypothèse **NON testable!**

&nbsp;

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# Hypothèses d'identification

**Exogeneité/as-good-as-random:** 
- L'instrument est **exogène** (non corrélé avec le terme d'erreur) 
- Formellement, `$\color{#9933FF}{Cov(Z_i, \varepsilon_i) = 0}$` 
- Hypothèse **NON testable!**

&nbsp;

&nbsp;

*NB: Exogeneité + Exclusivité = Exclusion Restriction*

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# Comment savoir si un instrument est bon ?

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.center[***Good instruments should feel weird*** 🤨]

&nbsp;

Les bons instruments peuvent sembler **contre-intuitifs**: ils créent un effet sur la variable endogène/instrument mais ne déterminent pas l'outcome.
  - un bon instrument doit susciter la confusion chez un auditeur non averti
  
&nbsp;

L’***exclusion restriction***, hypothèse clé mais **non testable**, est plus crédible lorsque l'instrument semble incongru 
  - il faut pouvoir défendre cette hypothèse avec une argumentation logique et théorique
&nbsp;  
  
Exemples : 
  - composition de genre des deux premiers enfants comme instrument du numbre d'enfants et l’offre de travail des femmes
  - pluviométrie comme instrument pour le revenu sur la fréquence de conflits
  - lotteries

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# Two-stage least squares (2SLS)

&nbsp;

La méthode des variables instrumentales est souvent utilisée en deux étapes, en l'occurence lorsqu'il y a plusieurs instruments/variables endogènes:

1. **First stage**: on régresse la variable endogène sur l'instrument et les contrôles, `$D_i = \delta + \color{#27b072}{\gamma} Z_i + \xi_i$` et on garde la valeur prédite de la variable endogène `$\hat{D}$`
2. **Second stage**: on régresse l'outcome sur la valeur prédite de la variable endogène `$\hat{D}$` et les variables de contrôle. Cette régression ne conserve que la partie de l'instrument `$Z$` qui est corrêlée avec la variable endogène `$D$`

&nbsp;

L'estimateur 2SLS s'écrit:

$$\color{#33B8FF}{\hat{\beta}^{2SLS} = \frac{\text{Estimateur de Reduced-Form}}{\text{Estimateur de First Stage}}} = \frac{\color{#eb8934}{\hat{\pi}}}{\color{#27b072}{\hat{\gamma}}} $$

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# Forme réduite (*Reduced-Form*)

Le modèle en **reduced-form** s'écrit:

`$$Y_i = \mu + \color{#eb8934}{\pi} \color{#9e5188}{Z_i} + \nu_i$$`

L'estimateur OLS de cette équation donne un estimateur causal de **l'effet de l'instrument** ( `$\neq$` effet du traitement `$D_i$`) sur l'outcome.

L'hypothèse d'identification est que l'instrument est bien exogène ( `$Cov(\varepsilon_i, Z_i) = 0$` )

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# Recap: quatres modèles

&nbsp;

**Modèle avec variable endogène**: 
- `$Y_i = \alpha + \beta D_i + W_i + \varepsilon_i$`

**First Stage**: régression de la **variable endogène** sur l'**instrument** 
- `$\color{#e07126}{D_i} = \alpha + \gamma \color{#9e5188}{Z_i} + W_i + \epsilon_i$`

**Second Stage**: régression de l'outcome d'intérêt sur les **valeurs prédites en *first stage* ** 
- `$Y_i = \alpha + \beta \color{#199c2c}{\hat{D_i}} + W_i + \varepsilon_i$`

**Reduced Form**: régression de l'outcome sur l'**instrument** 
- `$Y_i = \mu + \pi \color{#9e5188}{Z_i} + W_i + \nu_i$`

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# IV sur `R`

## Option 1: à la main

L’estimation peut être réalisée en deux étapes manuelles:

.pull-left[
**Étape 1**:

`first_stage <- lm(D ~ Z + W, data = data)`

`data$D_hat <- predict(first_stage)` 
]

.pull-right[
**Étape 2**:

`second_stage <- lm(Y ~ D_hat + W, data = data)`
]

&nbsp;

## Option 2: Package `estimater`, fonction `iv_robust`

`iv_model <- iv_robust(Y ~ D + W | Z + W, data = data)`

**Avantage**: gère directement l'erreur standard robuste.

.center[🚨 Toujours inclure les contrôles dans la first stage et second stage 🚨]

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background-color: #f19bb5
# Application: Angrist and Krueger (1991)

**Question de Recherche**: quel est l'effet du niveau d'études sur le salaire (= *Mincer equation*)?

**Question**: pourquoi ne peut-on pas simplement comparer le salaire de deux individus ayant un niveau de diplôme différent?

**Biais de sélection/OVB**: **Ability Bias**
- les individus ayant de meilleures capacités ou davantage de motivation ont tendance à poursuivre leurs études plus longtemps et par ailleurs cela peut également avoir un impact sur leur salaire
- Problème: on n'observe pas la motivation ni les capacités (ie. ces variables sont dans `$\varepsilon_i$`)
  - donc estimate biaisé 
  
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**Angrist et Krueger (1991)**
- papier de référence pour la prise en compte du biais d'abilité
- proposent un instrument pour le niveau d'éducation: **le trimestre de naissance** (Quarter of Birth, QOB):

**Contexte**: USA
  - entrée à l'école l'**année des 6 ans**
  - école obligatoire jusqu'à 16 ans
  
  
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background-color: #f19bb5
# Application: Angrist and Krueger (1991)

``` r
library(estimatr)
data("ak91", package = "masteringmetrics")
```

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background-color: #f19bb5
# Application: Angrist and Krueger (1991)

1. Expliquer pourquoi le trimestre de naissance est un bon instrument du nombre d'années d'études? 
  - quel est le mécanisme? l'instrument est-il valide?
  
2. Représenter graphiquement le nombre d'années d'études en fonction du trimestre de naissance. Que constatez-vous?

3. Régressez le salaire sur le nombre d'années d'études. Interprétez.

4. Régressez le nombre d'années d'études sur le trimestre de naissance. Interprétez

5. Régressez le salaire sur le trimestre de naissance. Interprétez.

6. Calculer l'estimateur 2SLS
  - 1) à la main
  - 2) avec la commande `iv_robust`
  
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[Angrist Data Archive](https://economics.mit.edu/people/faculty/josh-angrist/angrist-data-archive)