Variables de contrôle et matching

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# Variables de contrôle et matching
]
.subtitle[
## Pratiques de la Recherche en Économie
]
.author[
### Florentine Oliveira
]
.date[
### 2025-02-18
]

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background-color: #dd0747

# <span style="color:#FAFAFA;"> Reminder </span>
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L'objectif est d'estimer l'effet d'un **traitement** `$D$` sur une variable d'**outcome** `$Y$`.
  - par exemple l'effet d'avoir un master sur le salaire

&nbsp;

Peut-on en déduire l'effet du traitement en comparant l'outcome des individus traités à celui des individus non traités? 
  - par exemple peut-on quantifier l'effet d'avoir un master sur le salaire en comparant les individus qui ont un master à ceux qui n'en ont pas?

&nbsp;

<span style="color:#dd0747">**Dans 99,99999% des cas, NON!**: le groupe des traités et celui des contrôles ne sont en général pas comparables</span> 
  - par exemple, les femmes et les enfants issus de milieux sociaux favorisés sont plus susceptibles de faire de hautes études, et ces caractéristiques peuvent aussi influencer le salaire

Dans 0,00001% des cas, il est possible de comparer l'outcome moyen des individus traités et des individus témoins si le traitement est distribué de façon aléatoire (RCT; mais cela est très onéreux, pose des questions éthiques, etc.).

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# Cette séance

&nbsp;

1. Modèle de régression linéaire multivarié
 
  1.1. Biais de variable omise (OVB)        
  1.2. Hypothèses    
  1.3. Estimateur    
  1.4. Bonnes et mauvaises variables de contrôle    
  1.5. Coefficient de détermination (R2)

2. Matching

2.1. Intuition   
  2.2. Méthodes

3. Causalité

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# <span style="color:#FAFAFA;">  1. Modèle de régression linéaire multivarié </span>

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# 1. Modèle de régression linéaire multivarié
## 1.1. Biais de variable omise (OVB)

Notre modèle de base s'écrit   
\begin{equation}
Y_i = \alpha + \beta D_i + \varepsilon_i \;\;\;\;\;\;\;\;\; (1)
\end{equation}

Par exemple, `$Y_i$` désigne le salaire de l'individu `$i$`, `$D_i$` une dummy qui représente le fait d'avoir un master ou non, et `$\varepsilon_i$` le terme d'erreur.

Supposons qu'il existe une variable `$W_i$`, par exemple une variable binaire égale à 1 si `$i$` est une Femme.

`$W_i$` est implicitement contenue dans le terme d'erreur dans le modèle (1).

Or, les femmes sont en moyenne davantage éduquées que les hommes.

Donc `$D_i$` est corrêlé à `$\varepsilon_i$`, ou dit autrement `$\mathbb{E}(\varepsilon_i|D_i) \neq 0$`

.center[🚨 <span style="color:#dd0747"> **= Biais de variable omise**</span> 🚨]

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# 1. Modèle de régression linéaire multivarié
## 1.1. Biais de variable omise (OVB)

On a le modèle 
`$$Y_i = \alpha + \color{#DC7660}{\beta} D_i + \varepsilon_i$$`

où la (ou les) variable `$W_i$` est omise (donc appartient à `$\varepsilon_i$`).

La modèle *multivarié* s'écrit 
$$ Y_i = \gamma + \color{#DC7660}{\delta} D_i + \color{#60DC89}{\phi} W_i + \nu_i$$
On a donc la relation:

`$$\color{#DC7660}{\beta} = \underbrace{\color{#DC7660}{\delta}}_{"vrai" estimateur} + \underbrace{\color{#60DC89}{\phi} \color{#6660DC}{\pi}}_{OVB}$$`
où `$\pi$` est le coefficient de la régression de `$W_i$` sur `$D_i$` ( `$W_i = \lambda + \color{#6660DC}{\pi} D_i$` )

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# 1. Modèle de régression linéaire multivarié
## 1.1. Biais de variable omise (OVB)

**Exemple tiré du DM**

<table style="NAborder-bottom: 0; width: auto !important; margin-left: auto; margin-right: auto;" class="table">
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;">   </th>
   <th style="text-align:center;"> Log(Wage) </th>
   <th style="text-align:center;"> Women </th>
   <th style="text-align:center;"> Log(Wage)  </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> (Intercept) </td>
   <td style="text-align:center;"> 7.282*** </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.442*** </td>
   <td style="text-align:center;"> 7.433*** </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> (0.004) </td>
   <td style="text-align:center;"> (0.004) </td>
   <td style="text-align:center;"> (0.004) </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> At least Bac </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.481*** </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.097*** </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.514*** </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> (0.006) </td>
   <td style="text-align:center;"> (0.006) </td>
   <td style="text-align:center;"> (0.006) </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Women </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> −0.341*** </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;box-shadow: 0px 1.5px">  </td>
   <td style="text-align:center;box-shadow: 0px 1.5px">  </td>
   <td style="text-align:center;box-shadow: 0px 1.5px">  </td>
   <td style="text-align:center;box-shadow: 0px 1.5px"> (0.006) </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Num.Obs. </td>
   <td style="text-align:center;"> 31835 </td>
   <td style="text-align:center;"> 31835 </td>
   <td style="text-align:center;"> 31835 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> R2 Adj. </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.173 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.009 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.260 </td>
  </tr>
</tbody>
<tfoot><tr><td style="padding: 0; " colspan="100%">
<sup></sup> * p &lt; 0.1, ** p &lt; 0.05, *** p &lt; 0.01</td></tr></tfoot>
</table>

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#  1. Modèle de régression linéaire multivarié
## 1.2. Hypothèses du modèle multivarié

`$\color{#9933FF}{H_1}$` Linéarité: le modèle est linéaire dans les paramètres: `$\color{#9933FF}{\frac{\partial y_i}{\partial x_{ik}} = \beta_k}$`,  `$\color{#9933FF}{\forall k =1, ..., K}$`

`$\color{#9933FF}{H_2}$` Échantillon Aléatoire: l'échantillon est aléatoire et représentatif de la population.

.center[
<span style="color:#9933FF"> `$\color{#9933FF}{H_3}$` **Exogeneité _conditionnelle_**: Conditionnellement aux contrôles `$W$`, `$D$` est exogène</span>

Formellement, `$\color{#9933FF}{\mathbb{E}(\varepsilon_i|D,W) = 0}$`   
]

`$\color{#9933FF}{H_4}$` Variation: il y a suffisamment de variation dans `$X$` où `$X = (1\;\; D \;\;W)$` 
  - Dit autrement, chaque variable explicative apporte une information qui lui est propre
  - Formellement, les explicatives ne sont pas colinéaires (cas multivarié: `$\color{#9933FF}{(X'X)}$` <span style="color:#9933FF">est inversible</span>)
  
  
`$\color{#9933FF}{H_5}$` Les erreurs `$\varepsilon_i$` sont sphériques: `$\color{#9933FF}{H_{5a}}$` homoscédasticité & `$\color{#9933FF}{H_{5b}}$` Absence d'autocorrélation

---
#  1. Modèle de régression linéaire multivarié
## 1.2. Hypothèses du modèle multivarié

L'hypothèse d'indépendance conditionnelle, ou <span style="color:#9933FF">***Conditional Independance Assumption (CIA)***</span>, aussi appelée sélection sur les observables, indique que:
- conditionellement à des variables explicatives `$W_i$`, les outcomes potentiels `$\{Y_{0i}, Y_{1i}\}$` sont indépendants du traitement `$D_i$`
- dit autrement, en contrôlant par les variables `$W_i$`, le traitement `$D_i$` est *as-good-as random*

&nbsp;

Formellement, dans le framework des outcomes potentiels, l'hypothèse d'identification devient:

`$$\{Y_{0i}, Y_{1i}\} \perp D_i \color{#dd0747}{|W_i}$$` 
On a donc: `$$\begin{align} \text{Biais de Sélection} &= \mathbb{E}(Y_{0i} |  \color{#dd0747}{W_i}, D_i = 1) - \mathbb{E}(Y_{0i} |  \color{#dd0747}{W_i}, D_i = 0) \\ &= \mathbb{E}(Y_{0i} | \color{#dd0747}{W_i}) -  \mathbb{E}(Y_{0i} | \color{#dd0747}{W_i}) \\ &= 0 \end{align}$$`

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name:estimateur
#  1. Modèle de régression linéaire multivarié
## 1.3. Estimateur dans le cas multivarié

L'estimateur MCO dans le cas multivarié s'écrit:
`$$\hat{\beta} = (X'X)^{-1} X'Y$$`

<button class="inline" onclick="window.location.hash='mathsestimateur'">Maths</button>

C'est toujours l'estimateur *BLUE*: **B**est **L**inear **U**nbiased **E**stimator

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#  1. Modèle de régression linéaire multivarié
## 1.4 Bonnes et mauvaises variables de contrôle

Une *bonne* variable de contrôle doit:   
- contribuer à **expliquer la variable dépendante** 
- par une **information qui lui est propre** 
- **ne pas être impactée par le traitement** d'intérêt

Si elles satisfont ces conditions, les variables de contrôle permettent:

- d'atténuer le risque de biais de variable omise
- gagner en précision

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name: badcontrol
#  1. Modèle de régression linéaire multivarié
## 1.4 Bonnes et mauvaises variables de contrôle

Une *mauvaise* variable de contrôle est:

Une <span style="color:#33B8FF"> **variable non pertinente** </span> est une variable qui ne contribue pas à expliquer l'outcome.
- le paramètre estimé sera donc nul 😐
- l'estimateur reste sans biais tant que la variable non pertinente n'est pas corrélée à `$\varepsilon_i$` 😐
- l'estimateur est moins précis 😢

Une <span style="color:#33B8FF"> **variable redondante**</span> si l'information qu'elle contient est déjà contenue dans une autre variable
- lorsque deux variables sont très corrélées, difficile de distinguer l'effet "propre" de chacune, donc les estimateurs de ces deux variables seront très imprécis
- dans le cas extrême de colinéarité, le modèle n'est pas identifiable 😢

Un <span style="color:#33B8FF"> **mauvais contrôle** (*bad control*)</span> est une variable qui est également affectée par le traitement
- l'estimateur peut être biaisé 😢

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# 1.5 Coefficient de détermination (R2)

Le coefficient de détermination, ou `$R^2$`, informe sur la **qualité** de la régression linéaire, i.e. la **part de la variance de l'outcome expliquée par les `$X$`**.

Formellement,

`$$\begin{align} R^2 &=  \frac{SCE}{SCT} = \frac{\sum_i (\hat{y_i} - \overline{y}_i)^2}{\sum_i (y_i - \overline{y}_i)^2} \\ &= 1 -  \frac{SCR}{SCT} = 1 - \frac{\sum_i (y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum_i (y_i - \overline{y}_i)^2}\end{align}$$`

NB: le `$R^2$`
- augmente **mécaniquement** avec le nombre de varibales explicatives 
  - comparer les `$R^2$` ajustés lorsqu'on compare différents modèles
  - `$R^2_{adj} = 1 - (1 - R^2) \frac{N - 1}{N-K-1}$`
- est spécifique à un sample
- est très informatif pour faire de la prédiction mais n'informe en rien sur la causalité

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# <span style="color:#FAFAFA;">  2. Matching </span>

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# 2. Matching
## 2.1. Intuition

Lorsque l'on **contrôle** par des observables `$W$`, on peut avoir de l'*imbalance* (Ho, Imai, King,Stuart, 2007, Political Analysis)
  
  
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